Системы счисления.

Система счисления (СС) - знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита (цифр). СС бывают позиционными и непозиционными.

В непозиционной СС значение цифры не зависит от ее положения в числе. Пример - римская СС. В ней если меньшая цифра стоит до большей в числе, она вычитается, а если после - то прибавляется к остальным. M - 1000, D - 500, C - 100, L - 50, X - 10, V - 5, I - 1. Например, $MCMXCIX\ind{рим}=1999_{10}$.

В позиционной СС значение цифры зависит от ее положения в числе - разряда. Основанием позиционной СС называется количество цифр в ней. Например, арабская десятичная СС, 16-чная и т.д. Если развернуть число в позиционной СС в сумму, получим:

$$A_{x}=a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_{0}.a_{-1}a{-2}\cdots _{x}= a_{n... ..._{0} + a_{-1}\cdot \rev{x} + a{-2}\cdot \rev{x^2} +\cdots\: (1)$$

Здесь $a_i$ - составные цифры числа, $i$ - номер разряда.

Перевод чисел в 10-ю СС

Этот перевод осуществляется по формуле (1).

Примеры:

• Из 2-й:
  
  
  $$10.11_2=1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0 + 1\cdot 2^{-1} +1\cdot2^{-2}=2.75_{10}$$
  
  

• Из 8-й:
  
  
  $$67.5_8 = 6\cdot 8^1 + 7 + 5\cdot 8^{-1} = 55.625_{10}$$
  
  

• Из 16-й:
  Шестнадцатеричная СС использует следующие цифры: $1,\,2,\,3,\,\ldots 9,\,A\,(10),\,B\,(11)$, $C\,(12),\,D\,(13)$, $E\,(14),\,F\,(15).$
  
  $$19F_{16} = 1\cdot 16^2 + 9\cdot 16 + 15 = 415_{10}$$
  
  

Перевод чисел из 10-й СС

Для этого используется метод последовательного деления числа на основание новой СС. Последовательность остатков, записанная в обратном порядке, и будет искомым числом.

Примеры:

• В 2-ю: $19_{10}=X_2$
  
  
  $$\begin{array}{cccccccc} 19 & \multicolumn{1}{\vert c}{2}\\ \c... ...icolumn{1}{\vert c}{1}\\ \cline{6-6} & && && 0 \\ \end{array}$$
  
  
  Следовательно, $19_{10}=10011_2$.

• В 8-ю: $35_{10}=X_8$
  
  
  $$\begin{array}{cc} 35 & \multicolumn{1}{\vert c}{8}\\ \cline{2... ...32 & \multicolumn{1}{\vert c}{4}\\ \cline{1-1} 3\\ \end{array}$$
  
  
  Следовательно, $35_{10}=43_2$.

• В 16-ю: $127_{10}=X_{16}$
  
  
  $$\begin{array}{cc} 127 & \multicolumn{1}{\vert c}{16}\\ \cline... ...{1}{\vert c}{7}\\ \cline{1-1} 15 & \Rightarrow F\\ \end{array}$$
  
  
  Следовательно, $127_{10}=7F_{16}$.

Для преревода дробей умножаем их на основание СС, записывая после десятичной точки получающиеся целые числа вплоть до достижения требуемой точности (или достижения нулевого результата).

Пример:

$0.75_{10}=X_2;\qquad 0.75\cdot 2=\bf 1\rm .5\cdot 2=\bf 1\rm .0\qquad\Rightarrow\qquad 0.75_{10}= 0.11_2$

$0.12_{10}=X_8;\qquad 0.12\cdot 8=\bf0\rm .96\cdot 8=\bf 7\rm .68\cdot 8= \bf 5\rm .44\ldots\qquad\Rightarrow\qquad 0.12_{10}\approx 0.075_8$

Перевод чисел между 2-й, 8-й и 16-й СС.

Так как $8=2^3$, а $16=2^4$, то 1 разряд 8-й СС содержит 3, а 1 разряд 16-й СС - 4 разряда 2-й СС. Следовательно, перевод между ними облегчается путем разбиения двоичного числа на триады (для 8-й СС) или тетрады (для 16-й СС).

Триады двоичных чисел и соответствующие восьмеричные:

$X_8$	0	1	2	3	4	5	6	7
$X_2$	000	001	010	011	100	101	110	111

Триады двоичных чисел и соответствующие шестнадцатеричные:

$X_{16}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$X_2$	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001

$X_{16}$	A	B	C	D	E	F
$X_2$	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Например, $72_8=X_2\,$, разложим каждую цифру восьмеричнго числа по триадам, тогда получим: $72_8=111010_2$; $A3_{16}=X_2$ , здесь разложим каждую цифру по тетрадам: $A3_{16}=10100011_2$.

Арифметические операции в других СС осуществляются в столбик, так же, как и в привычной нам десятичной СС. Необходимо только помнить, что суммирование производится в другой СС, так что $5+5$ не всегда равно $10$, а может быть равно и $12_8$, и $A_{16}$.

В выполнении этой работы вам поможет калькулятор. Выберите в нем инженерный режим. Теперь все свои вычисления вы сможете проверить при его помощи. Например, для перевода числа 124 из десятичной системы счисления в двоичную, выберите режим десятичного ввода (decimal), наберите 124, а затем -- выберите двоичный (binary) режим. Калькулятор покажет 1111100 -- число 124 в двоичной системе.

Переведите числа в другую систему счисления.

• $125_{10}=X_2$
• $1111_{10}=X_8$
• $12321_{10}=X_{16}$
• $11001101_2=X_{16}$. Подсказка: переводить число из двоичной в 16-ю систему удобно при помощи тетрад.
• $A3B9_{16}=X_2$
• $1100011100101_{2}=X_{8}$. Подсказка: в восьмеричную систему из двоичной удобно переводить числа при помощи триад.
• $2756_8=X_2$
• $A44_{16}=X_8$. Подсказка: переведите из 16-й в двоичную (при помощи тетрад), а затем полученное число - в 8-ю (при помощи триад).
• $7423_8=X_{16}$
• $110_2+143_{10}=X_8$. Подсказка: переведите число $143_10$ в двоичную систему, в ней выполните сложение, ответ переведите в восьмеричную систему при помощи триад.
• $200_{10}+10011_2=X_{16}$
• $A4_{16}-65_8=X_2$. Подсказка: здесь удобнее сразу перевести оба слагаемых в двоичную систему.
• $300_{10}+400_{8}=X_{16}$
• $1.22_{10}=X_2$ (С точностью до 3-х знаков после запятой)
• $6.234_8=X_{10}$ (-- // --)
• $1.45_{10}/1.11_2=X_8$ (-- // --)